Question

实数x，y满足4x²+4y²-5xy=5，设S=x²+y²，则S的最小值为

10

3

．

Answer 1

分析：将S=x²+y²代入已知等式，得5xy+5=4（x²+y²）=4S．再根据基本不等式得到xy≤

1

2

（x²+y²）=S，将其代入5xy+5=4S得4S≤

5

2

S+5，从而得到S≤

10

3

，当且仅当x=y=

15

3

时，S的最小值为

10

3

．

解答：解：∵4x²+4y²-5xy=5，
∴5xy+5=4（x²+y²）=4S
∵S=x²+y²≥0
∴由基本不等式得：S≥2xy⇒xy≤

1

2

S
∴5xy+5=4S≤

5

2

S+5
∴

3

2

S≤5⇒S≤

10

3

当且仅当x=y=

15

3

时，S的最小值为

10

3

．
故答案为：

10

3

点评：本题以一个二元二次代数式求最值为载体，着重考查了运用基本不等式求最值、转化化归的数学思想和方程与不等式的联系等知识点，属于中档题．