题目内容
如图,P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,且



(1)当A点在y轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;
(2)已知k∈R,i=(0,1),j=(1,0),经过(-1,0)以ki+j为方向向量的直线l与轨迹C交于E、F两点,又点D(1,0),若∠EDF为钝角时,求k的取值范围.
解:(1)设A(0,y0)、Q(x0,0)、M(x,y),
则=(-3,-y0),
=(x0,-y0).
又·
=0,∴-3x0+(-y0)(-y0)=0.
∴y02=3x0. ①
又||=2|
|,
∴∴
②
将②代入①,有y2=4x(x≠0).
(2)ki+j=k(0,1)+(1,0)=(1,k),
则l:y=k(x+1),与y2=4x联立,
得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
x1+x2=,x1x2=1.
当Δ>0时,k∈(-1,0)∪(0,1), ③
又=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),
若∠EDF为钝角,则·
<0.
而·
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+k(x1+1)k(x2+1)+1
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0, ④
将③代入④整理有4k2-2<0.
∴<k<
.
由题知k≠0,
∴满足题意k∈(,0)∪(0,
).
