Question

给定下列命题
①半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的面积为

1

2

；
②若a、β为锐角，tan（α+β）=

1

3

，tanβ=

1

2

，则α+2β=

π

4

；
③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且a²+b²-c²＜0，则△ABC一定是钝角三角形．
其中正确命题的个数有（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①计算扇形面积，②计算tan（α+2β）的值，考虑α，β的范围，③△ABC中，sinA＜sinB，得A＜B，得BC＜AC，④△ABC中，a²+b²-c²＜0，得cosC＜0，得C是钝角．

解答：解：①半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的面积为：S=

1

2

R²α=

1

2

×2²×

1

2

=1，∴①错误；
②若a、β为锐角，tan（α+β）=

1

3

，tanβ=

1

2

，则tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=1，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且tan（α+β）=

1

3

，∴0＜α+β＜

π

2

，∴0＜α+2β＜π，∴α+2β=

π

4

，∴②正确；
③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则A＜B，由大角对大边知BC＜AC，∴③正确；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且a²+b²-c²＜0，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，又0＜C＜π，∴C是钝角，即△ABC是钝角三角形，∴④正确．

点评：本题考查了扇形面积公式，两角和的正切公式，三角形中正弦、余弦定理的综合应用，是容易出错的基础题．