Question

12．已知f（x）=2^x-4^x
（1）若x∈[-2，2]，求函数f（x）的值域；
（2）求证：函数f（x）在区间（-∞，-1]的单调递增．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x，则t＞0，f（x）=y=t-t²，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得函数的值域；
（2）当x∈（-∞，-1]时，t=2^x∈（0，$\frac{1}{2}$]，结合二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质及，复合函数单调性同增异减的原则，可得结论．

解答 解：（1）令t=2^x，则t＞0，f（x）=y=t-t²，
∵y=t-t²的图象是开口朝下，且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{1}{2}$，即x=-1时，函数取最大值$\frac{1}{4}$，无最小值，
故函数的f（x）的值域为（-∞，$\frac{1}{4}$]；
证明：（2）∵x∈（-∞，-1]时，t=2^x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
此时t=2^x为增函数，y=t-t²也为增函数，
根据复合函数单调性同增异减的原则，可得：
函数f（x）在区间（-∞，-1]的单调递增．

点评 本题考查的知识点是次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质及，复合函数单调性，换元法，难度中档．