题目内容

已知a
1
2
+a-
1
2
=4,其中a>0.
(1)求a+a-1的值;
(2)a+a-1的值恰是关于x的方程x2-9x+m=0的两根之积,求函数f(x)=x2-9x+m的最小值.
分析:(1)由于a
1
2
+a-
1
2
=4,两边平方即可得到(a
1
2
+a-
1
2
)2
=a+a-1+2=16,即可;
(2)由于a+a-1的值恰是关于x的方程x2-9x+m=0的两根之积,可得m=a+a-1=14.通过配方f(x)=x2-9x+14=(x-
9
2
)2-
25
4
.利用二次函数的单调性即可得出.
解答:解:(1)∵a
1
2
+a-
1
2
=4,
(a
1
2
+a-
1
2
)2
=a+a-1+2=16,
∴a+a-1=14.
(2)∵a+a-1的值恰是关于x的方程x2-9x+m=0的两根之积,∴m=a+a-1=14.
∴f(x)=x2-9x+14=(x-
9
2
)2-
25
4
≥-
25
4

f(x)min=f(
9
2
)=-
25
4
点评:本题考查了完全平方公式、配方法、一元二次根与系数的关系、二次函数的单调性等基础知识与基本方法,属于中档题.
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