Question

某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N^*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求k的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：解答本题的关键是要求出运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．但由于储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值（不含运费）的比例系数未知，故我们要先根据若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43 600元，求出比例k．

解答：解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，
题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分

3600

x

批，
每批费用2000x元．
由题意知y=

3600

x

×400+k×2000x，
当x=400时，y=43600，
解得k=

1

20

∴y=

3600

x

×400+100x≥2

3600 x ×400×100x

=24000（元）
当且仅当

3600

x

×400=100x，即x=120时等号成立．
故只需每批购入120台，可以使资金够用．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．