题目内容

a>0,a≠1,函数f(x)=ax2+x+1有最大值,则不等式loga(x2-x)>0的解集为
(
1-
5
2
,0)∪(1,
1+
5
2
)
(
1-
5
2
,0)∪(1,
1+
5
2
)
分析:根据复合函数f(x)=ax2+x+1有最大值,由其内函数有最小值,可得其外函数为减函数,进而分析出底数a的范围,结合对数函数的单调性和定义域可以将不等式loga(x2-x)>0化为整式不等式.
解答:解:∵函数f(x)=ax2+x+1有最大值,
由于u=x2+x+1有最小值
故y=au应为减函数
即0<a<1
故不等式loga(x2-x)>0可化为
0<x2-x<1
解得x∈(
1-
5
2
,0)∪(1,
1+
5
2
)

故答案为:(
1-
5
2
,0)∪(1,
1+
5
2
)
点评:本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,指数函数的图象和性质,复合函数的性质,是函数图象和性质的综合应用,难度稍大,为中档题.
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