Question

（13分）如图分别是正三棱台ABC－A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．

    （1）求正三棱台ABC－A₁B₁C₁的体积；

    （2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；

    （3）若P是棱A₁C₁上一点，求CP＋PB₁的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2）  ；（3） 的最小值为 

【解析】本试题主要是考查了立体几何中二面角的求解和棱台体积公式的运用，以及线段和的最值问题的综合运用。

（1）首先要求解三棱台的体积，关键是高度和底面积，然后结合公式得到。

（2）建立适当的空间直角坐标系，表示出点的坐标和向量的坐标，进而求解二面角的平面角的问题。

（3）结合三角形的知识，求解两边的和的最小值，要借助于余弦定理得到。

解:（1）由题意,正三棱台高为……..2分

………..4分

 

（2）设分别是上下底面的中心，是中点，是中点.

如图，建立空间直角坐标系. ，， ，，，，，

设平面的一个法向量，则即

取，取平面的一个法向

量，设所求角为

则 ……..8分

（3）将梯形绕旋转到,使其与成平角

，由余弦定理得

即的最小值为 ……..13分