Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且

a

2 n+1

an+an+1

a

2 n

+

a

2 n+1

-

a

2 n

=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：{

1

an

}是等差数列；
（Ⅲ）若bn=

2n

an

+anan+1，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据已知条件推得数列的递推关系式，再把2，3代入即可；
（Ⅱ）直接根据条件推得结论；
（Ⅲ）先求出数列的通项，再利用错位相减法以及裂项法求和即可．

解答：解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且

a

2 n+1

an+an+1

a

2 n

+

a

2 n+1

-

a

2 n

=0．
∴a_n+1•a_n（a_n+1+a_n）+（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=0
（a_n+1+a_n）（a_n+1•a_n+a_n+1-a_n）=0
∴a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0
∴

1

an

-

1

an+1

+1=0；
∴

1

an+1

-

1

an

=1．①
（Ⅰ）∴

1

a2

=1+

1

a1

=2
∴a₂=

1

2

；
同理：a₃=

1

3

．
（Ⅱ）由①得{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列；
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n；
∴a_n=

1

n

．
（Ⅲ）∴bn=

2n

an

+anan+1=•2ⁿ+

1

n(n+1)

；
{n•2ⁿ}的和
S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ …①，
2S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2ⁿ⁺¹ …②，
∴①-②得
-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
{

1

n

-

1

n+1

}的和为：T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和为：S_n+T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n

n+1

．．

点评：本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查数列的通项，考查裂项法求和．运用了错位相减法求数列的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它．