题目内容
设x1、x2是区间D上的任意两点，若函数y=f(x)满足f(
成立,则称函数y=f(x)在区间D上下凸.(1)证明函数f(x)=x+
在区间(0,+∞)上下凸.
(2)若函数y=f(x)在区间D上下凸,则对任意的x1,x2,…,xn∈D 有
.试根据下凸倒数的这一性质,证明若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),则(x1+x2+…+xn)
≥n2.
(文)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且a3,a9,a6成等差数列,问:S3,S9,S6是否成等差数列?
答案：(理)证明:(1)设x1＞0,x2＞0,则f()-［f(x1)+f(x2)］
=
==
=
≤0,
∴f(
)≤
［f(x1)+f(x2)］.由定义可知f(x)=x+
在区间(0,+∞)上下凸.
(2)由(1)可知f(x)=x+
在(0,+∞)上下凸,
根据性质,有
∴
.
∵x1,x2,…,xn∈(0,+∞),∴x1+x2+…+xn＞0.
上述可化为(x1+x2+…+xn)
≥n2.
(文)解：由a3,a9,a6成等差数列，可得a3+a6=2a9,即a1q2+a1q5=2a1q8.
∵a1q2≠0,∴1+q3=2q6.
当q≠1时，S3+S6=
=2S9,
∴S3,S9,S6成等差数列.
当q=1时，S3+S6=3a1+6a1=9a1,而2S9=18a1.
∵a1≠0,∴S3+S6≠2S9.∴S3,S9,S6不成等差数列.
综合,得当q≠1时，S3,S9,S6成等差数列，当q=1时，S3,S9,S6不成等差数列.
练习册系列答案
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)≥
［f(x1)+f(x2)］,则称函数f(x)是区间D上的上凸函数.上凸函数有如下的性质:
)必在函数y=f(x)的图象下方或图象上.
.
，设yn=sinxn，求证：
．