Question

（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计图（部分）

运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．

解答：解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P₁=

12

24

=

1

2

；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P₂=

8

24

=

1

3

；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P₃=

4

24

=

1

6

；
故输出的y值为1的概率为

1

2

，输出的y值为2的概率为

1

3

，输出的y值为3的概率为

1

6

；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：

	输出y值为1的频率	输出y值为2的频率	输出y值为3的频率
甲	1027 2100	376 2100	697 2100
乙	1051 2100	696 2100	353 2100

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）=

C

0 3

×(

1

3

)0×(

2

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

×(

1

3

)1×(

2

3

)2=

4

9

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)1=

2

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

3

)3×(

2

3

)0=

1

27

，故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

所以所求的数学期望Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题．