题目内容

已知向量p=（a+c，b），q=（a-c，b-a）且p•q=0，其中角A，B，C是△ABC的内角a，b，c分别是角A，B，C的对边．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

解：（1）由 p•q=0得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0?a²+b²-c²=ab
由余弦定理得cosC= $\text{[math]}$
∵0＜C＜π∴C= $\text{[math]}$
（2）∵C= $\text{[math]}$ ∴A+B= $\text{[math]}$
∴sinA+sinB=sinA+sin（ $\text{[math]}$ -A）=sinA+sin $\text{[math]}$ cosA-cos $\text{[math]}$ sinA
= $\text{[math]}$ sinA+ $\text{[math]}$ cosA= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sinA+ $\text{[math]}$ cosA）
= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）
∵0＜A＜ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤1∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ＜sinA+sinB≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据p•q=0，进而求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得c．
（2）根据C和B表示出A，进而利用两角和公式化简整理后，根据A的范围确定sinA+sinB的范围．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值，平面向量的性质．考查了学生综合分析运用所学知识的能力．