Question

已知函数f(x)=

4ex

ex+1

（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；
（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

Answer 1

分析：（1）可求得f′（x）=

4ex

(ex+1)2

，转化为f′（x）=

4

ex+ 1 ex +2

，利用基本不等式可求导函数f′（x）的值域；
（2）①构造函数g（x）=f（x）-x，利用g′（x）可判断g（x）在R上是减函数，由a＞t可得，g（a）＜g（t）=0，从而可证a＞b；
②构造h（x）=f（x）+x，由h′（x）=f′（x）+1≥0可得h（x）在R上是增函数，又a＞b，h（a）＞h（b），从而可证a+f（a）＞b+f（b）．

解答：解：（1）f′（x）=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+ 1 ex +2

≤1，导函数f′（x）的值域（0，1]，
（2）设g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1≤0，所以g（x）在R上是减函数，
∵a＞t，方程f（x）=x的一个根为t，即g（t）=0，
∴g（a）＜g（t）=0，而g（a）=f（a）-a
∴f（a）-a＜0，f（a）＜a，f（a）=b，即a＞b；
设h（x）=f（x）+x，则h′（x）=f′（x）+1≥0，
∴h（x）在R上是增函数，又a＞b，
∴h（a）＞h（b），
即a+f（a）＞b+f（b）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查基本不等式的应用，突出考查构造函数的方法，函数与方程思想，化归思想的综合应用，属于难题．