Question

对于函数f（x）若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的天宫一号点，已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18的两个天宫一号点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）当f（x）的定义域是[t，t+1]时，求函数f（x）的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2，联立解得即可；
（2）对区间[t，t+1]在对称轴x=-

1

3

左侧，右侧，包含对称轴时三种情况，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2，
即

9a+21-3b+18=-3 4a+2b-14+18=2

，
解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-2x+18．
（2）①当区间[t，t+1]在对称轴x=-

1

3

左侧时，即t+1≤-

1

3

，也即t≤-

4

3

时，f（x）的最大值为f（t+1）=-3t²-8t+13；
②当对称轴x=-

1

3

在[t，t+1]内时，即t≤-

1

3

＜t+1，
也即-

4

3

＜t≤-

1

3

时，f（x）的最大值为f(-

1

3

)=

55

3

；）
③当[t，t+1]在x=-

1

3

右侧时，即t＞-

1

3

时，f（x）的最大值为f（t）=-3t²-2t+18，
∴g(t)=

-3t2-8t+13， t≤- 4 3 55 3 ，  - 3 4 ＜t≤- 1 3 -3t2-2t+18，  t＞- 1 3 .

点评：本题考查了二次函数的单调性、分类讨论、新定义等基础知识与基本技能，属于难题．