题目内容

若实数 $数学公式$ ．
（1）若a＞2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ +2x+1
∴ $\text{[math]}$ …（2分）a＞2时，列表如下，

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴ $\text{[math]}$
单调递减区间是 $\text{[math]}$
当0＜a＜2时，列表如下，

x	（-∞，1）	1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴ $\text{[math]}$
单调递减区间是 $\text{[math]}$
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1即可．
当a＞2时，f（x）_极小值=f（1）=2- $\text{[math]}$ ＜1，所以a＞6．
当 $\text{[math]}$ ．
综上所述，实数 $\text{[math]}$

分析：（1）求出函数的导数，通过a＞2，列出导函数的值的符号，确定函数f（x）的单调区间；
（2）通过f（0）=1，利用（1）要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1，即可求实数a的取值范围．
点评：本题是中档题，考查函数的导数，函数的单调性的应用，考查转化思想计算能力，同时注意分类讨论思想．近几年高考必考内容．