Question

6．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x 求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x=（ sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．