题目内容
首项为正数的数列{an}满足a n+1=
(an2+3),n∈N+.
(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;
(2)若对一切n∈N+都有a n+1>an,求a1的取值范围.

(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;
(2)若对一切n∈N+都有a n+1>an,求a1的取值范围.
(1)证明:已知a1是奇数,假设ak=2m﹣1是奇数,其中m为正整数,则由递推关系得
a k+1=
=m(m﹣1)+1是奇数.
根据数学归纳法,
对任何n≥2,an都是奇数.
(2)解:由a n+1﹣an=
(an﹣1)(an﹣3)知,a n+1>an当且仅当an<1或an>3.
另一方面,若0<ak<1,则0<a k+1<
=1;
若ak>3,则a k+1>
=3.
根据数学归纳法得,0<a1<1
0<an<1,
n∈N+;
a1>3
an>3,
n∈N+.
综上所述,对一切n∈N+都有a n+1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.
a k+1=

根据数学归纳法,
对任何n≥2,an都是奇数.
(2)解:由a n+1﹣an=

另一方面,若0<ak<1,则0<a k+1<

若ak>3,则a k+1>

根据数学归纳法得,0<a1<1


a1>3


综上所述,对一切n∈N+都有a n+1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.

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