题目内容
y=f(x)的定义域为R,对任意实数m、n有f(m+n)=f(m)f(n),且当x<0时,f(x)>1,数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
(1)求证:y=f(x)在R上的单调递减;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在正数k,使(1+)·(1+
)·…·(1+
)≥k·
对一切n∈N*均成立,若存在,试求出k的最大值并证明,若不存在,说明理由.
思路分析:本题为数列与数学归纳法的综合问题,解题的基本思路是:“观察—归纳—猜想—证明”.
解:(1)令m=-1,n=0,则f(-1)=f(-1)f(0),而f(-1)>1,∴f(0)=1.
令m=x>0,n=-x<0,则f(x-x)=f(x)·f(-x)=1.
∴f(x)=∈(0,1),即x>0时0<f(x)<1.
设x1<x2则x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,∴f(x)<f(x1).
∴y=f(x)在R上单调递减.
(2)由f(an+1)=,n∈N*,得f(an+1)·f(-2-an)=1.
∴f(an+1-an-2)=f(0).由(1)知an+1-an-2=0,
即an+1-an=2(n∈N*),∴{an}是首项为a1=1,公差为2的等差数列,∴an=2n-1.
(3)假设存在正数k,使(1+)(1+
)…(1+
)≥k·
对n∈N*恒成立,记F(n)=
,
即=
>1.
∴F(n)是递增数列,F(1)为最小值.
由F(n)≥k恒成立知k≤F(1)=,∴kmax=
.
另解:令n=1,得k≤,存在k=
使(1+
)(1+
)…(1+
)≥
·
.
证明如下:当n=1时成立;
设n=k时成立,则n=k+1时,ak+1=2k+1,
(1+)(1+
)…(1+
)(1+
)≥
·2k+1(1+
)
==
≥
=.
由归纳原理知k=符合题意.

练习册系列答案
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函数f(x)的定义域为[-6,2],则函数y=f(
)的定义域为( )
x |
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| ||
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