Question

设

a

、

b

为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λ

a

+μ

b

=0，则称

a

、

b

线性相关，下面的命题中，

a

、

b

、

c

均为已知平面M上的向量．
①若

a

=2

b

，则

a

、

b

线性相关；
②若

a

、

b

为非零向量，且

a

⊥

b

，则

a

、

b

线性相关；
③若

a

、

b

线性相关，

b

、

c

线性相关，则

a

、

c

线性相关；
④向量

a

、

b

线性相关的充要条件是

a

、

b

共线．
上述命题中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：利用

a

和 

b

线性相关 等价于

a

 和 

b

 是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确．

解答：解：若

a

、

b

线性相关，假设λ≠0，则

a

=-

μ

λ

b

，故

a

和 

b

是共线向量．
反之，若

a

和 

b

是共线向量，则

a

=-

μ

λ

b

，即λ

a

+μ

b

=0，故

a

和 

b

线性相关．
故

a

和 

b

线性相关 等价于

a

 和 

b

 是共线向量．
①若

a

=2

b

，则

a

-2

b

=0，故

a

和 

b

线性相关，故①正确．
②若

a

和 

b

为非零向量，

a

⊥

b

，则

a

 和 

b

 不是共线向量，不能推出

a

和 

b

线性相关，故②不正确．
③若

a

和 

b

线性相关，则 

c

 和 

b

  线性相关，不能推出若

a

和 

c

线性相关，例如当

b

=

0

 时，

a

和 

b

可以是任意的两个向量．故③不正确．
④向量

a

和 

b

线性相关的充要条件是

a

和 

b

是共线向量，故④正确．
故答案为  ①④．

点评：本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确

a

和 

b

线性相关 等价于

a

 和 

b

 是共线向量，是解题的关键．