Question

一个凸多面体各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为4，则这个多面体只能是

1. A.
   四面体
2. B.
   六面体
3. C.
   七面体
4. D.
   八面体

Answer 1

D
分析：多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V，由于已知中各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为4，我们可以求出F，E，V之间的关系，代入欧拉公式V-E+F=2，即可求出V，E，F的值，进而得到结论．
解答：设多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V，
由各面都是三角形，则3F=2E
由各顶点引出的棱的条数均为4条，则4V=2E
由欧拉定理：V-E+F=2
代入欧拉公式得
E-E+E=2
解得
E=12，则F=E=8
故这个多面体只能是8面体．
故选D
点评：本题考查的知识点是多面体的几何特征，其中利用欧拉公式V-E+F=2，及已知中凸多面体各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为4，得到的结论3F=2E，4V=2E，构造方程组，是解答本题的关键．解答时要注意E是棱数，F才是面数，以免弄混，而出现错误．