题目内容

设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1f(0)=
1
2
,数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn等于______.
∵函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1
∴f(0)=a1=
1
2
,f(1)=a0+a1+…+an
∵f(1)=n2•an
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=n2•an
又∵an=Sn-Sn-1=n2•an-(n-1)2•an-1
∴(n2-1)an=(n-1)2•an-1(n≥2),
an
an-1
=
n2-1
(n-1)2
=
n+1
n-1

利用叠乘可得,
a2
a1
a3
a2
a4
a3
an
an-1
=
1
3
×
2
4
×…×
n-2
n
×
n-1
n+1

an
an-1
=
1
3
×
2
4
×…×
n-2
n
×
n-1
n+1

∴an=
1
n(n+1)

故答案为
1
n(n+1)
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