题目内容
设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)=
,数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn等于______.
1 |
2 |
∵函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,
∴f(0)=a1=
,f(1)=a0+a1+…+an
∵f(1)=n2•an,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=n2•an,
又∵an=Sn-Sn-1=n2•an-(n-1)2•an-1,
∴(n2-1)an=(n-1)2•an-1(n≥2),
则
=
=
利用叠乘可得,
•
•
…
=
×
×…×
×
,
∴
=
×
×…×
×
,
∴an=
,
故答案为
.
∴f(0)=a1=
1 |
2 |
∵f(1)=n2•an,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=n2•an,
又∵an=Sn-Sn-1=n2•an-(n-1)2•an-1,
∴(n2-1)an=(n-1)2•an-1(n≥2),
则
an |
an-1 |
n2-1 |
(n-1)2 |
n+1 |
n-1 |
利用叠乘可得,
a2 |
a1 |
a3 |
a2 |
a4 |
a3 |
an |
an-1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
n-2 |
n |
n-1 |
n+1 |
∴
an |
an-1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
n-2 |
n |
n-1 |
n+1 |
∴an=
1 |
n(n+1) |
故答案为
1 |
n(n+1) |

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