题目内容
已知双曲线x2-my2=1（m＞0）的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上两点，若三角形ABC为等边三角形，则m的取值范围是
（3，+∝）
（3，+∝）
．分析：先根据双曲线的对称性求出A点坐标，判断直线BC垂直于x轴，设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，因为B，C点存在，所以方程有大于1的解，再利用判别式和对称轴即可求出m的范围．
解答：解：由双曲线的方程知A（1，0），
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=
（x-1），代入双曲线方程，化简，得，
（m-3）x2-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B，存在，
∴方程（m-3）x2-2mx+m+3=0有两解，一个等于1，一个属于（1，+∞）．
∴
，
解得，m＞3
∴m的范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=
| ||
| 3 |
（m-3）x2-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B，存在，
∴方程（m-3）x2-2mx+m+3=0有两解，一个等于1，一个属于（1，+∞）．
∴
|
解得，m＞3
∴m的范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）
点评：本题主要考查了双曲线的应用．涉及了不等式，函数等问题．综合性强．
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