题目内容

抛物线y=ax²的焦点恰好为双曲线y²-x²=2的一个焦点，则a=________．

$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y轴且a²=b²=2，得它的焦点坐标为（0，2）或（0，-2）．抛物线y=ax²化成标准方程，得它的焦点为F（0， $\text{[math]}$ ），结合题意得 $\text{[math]}$ =2或 $\text{[math]}$ =-2，解之即得实数a的值．
解答：双曲线y²-x²=2化成标准方程，得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1
∴双曲线的焦点在y轴，且a²=b²=2
因此双曲线的半焦距c= $\text{[math]}$ =2，得焦点坐标为（0，2）或（0，-2）
∵抛物线y=ax²即x²= $\text{[math]}$ y，得它的焦点为F（0， $\text{[math]}$ ），且F为双曲线的一个焦点
∴ $\text{[math]}$ =2或 $\text{[math]}$ =-2，解之得a= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
点评：本题给出抛物线的焦点恰好是双曲线两个焦点中的一个，求参数a的值，着重考查了抛物线的方程和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．

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