Question

如下图,已知椭圆=1(其中a＞b＞0),点P为其上一点,F₁、F₂为焦点,  ∠F₁PF₂的外角平分线为l,点F₂关于l的对称点为Q,F₂Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时,求R的轨迹方程;

(2)设点R形成的曲线为C,直线l′:y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点,△AOB的面积为S,求S取得最大值时k的值.

Answer 1

(1)解法一:连结PQ,

∵F₂、Q关于l对称,

∴∠F₂PR=∠QPR,F₂R=QR,PF₂=PQ.

又l为∠F₁PF₂的外角平分线,故点F₁、P、Q在同一直线上.

设R(x₀,y₀),Q(x₁,y₁),F₁(－c,0), F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|F₂P|=2a.

则(x₁+c)²+y₁²=(2a)²,x₀=,y₀=.

∴x₁=2x₀－c,y₁=2y₀.

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)².

∴x₀²+y₀²=a².

故R的轨迹方程为x²+y²=a²(y≠0).

解法二:同解法一得F₁、P、Q共线.

连结OR.

∵|F₁O|=|OF₂|,|F₂R|=|RQ|,

∴|OR|=|F₁Q|=(|PF₁|+|PF₂|)=a,

即R的轨迹是以O为原点,a为半径的圆.

又P、R不在x轴上,

∴R的轨迹方程为x²+y²=a²(y≠0).

(2)解:∵S_△AOB=·|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB,

当∠AOB=时,S_△AOB的最大值为a².

此时弦心距|OC|=.

∵=cos∠AOC=cos=,

∴a.

∴k=±.

点评:求动点的轨迹方程主要有两种方法:挖掘等式列出方程,或先判断点的轨迹然后求方程.通过本例读者应深刻体会,熟练掌握.