Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：
（1）异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此几何体的体积V的大小．

Answer 1

分析：（1）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．取EC的中点是F，连接BF，则BF∥DE，∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
（2）先过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，从而∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．再在△ACG中，利用∠ACG=90°，求得sin∠AGC从而得出二面角A-ED-B的正弦值
（3）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．

解答：解：（1）取EC的中点是F，连接BF，
则BF∥DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，AB=4

2

，BF=AF=2

5

，
cos∠ABF=

10

5

，．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

10

5

．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

8 5

5

∴tan∠AGC=

5

2

，．∴sin∠AGC=

5

3

．
∴二面角A-ED-B的正弦值为

5

3

．（6分）
（3）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S_梯形BCED=

1

2

×（4+2）×4=12
∴V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×12×4=16．
即该几何体的体积V为16．

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．