Question

过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解法一：设点M的坐标为（x,y）,

∵M为线段AB的中点，

∴A的坐标为（2x,0），B的坐标为（0，2y）.

∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂过点P（2，4），

∴PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

而k_PA=,k_PB=(x≠1).

∴=-1(x≠1),

整理得x+2y-5=0(x≠1).

∵当x=1时，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），

∴线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程x+2y-5=0.

综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二：如图，设M的坐标为（x,y），则A、B两点坐标分别是（2x,0）、（0，2y），连接PM.

∵l₁⊥l₂,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=,∴2.

化简，得x+2y-5=0为所求轨迹方程.

解法三：设M的坐标为（x,y）,连接PM、OM，由l₁⊥l₂知A、O、B、P四点共圆，AB为圆的直径，M为圆心，则有|OM|=|MP|.

∴.

化简得x+2y-5=0，为所求轨迹方程.