Question

有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男、女生分别排在一起；
（4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．

Answer 1

分析：（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A₈⁸种，根据分步计数原理得到结果．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．
（3）把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列，
（4）先排4名男生有A₄⁴种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A₅⁵种方法，根据分步计数原理得到结果．
（5）9人共有A₉⁹种排法，其中甲、乙、丙三人有A₃³种排法，因而在A₉⁹种排法中每A₃³种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组．

解答：解：（1）先排甲有6种，
其余有A₈⁸种，
∴共有6•A₈⁸=241920种排法．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，
共有A₂²•A₇⁷=10080种排法．
（3）把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，
A₂²•A₄⁴•A₅⁵=5760种．
（4）先排4名男生有A₄⁴种方法，
再将5名女生插在男生形成的5个空上有A₅⁵种方法，
故共有A₄⁴•A₅⁵=2880种排法．
（5）9人共有A₉⁹种排法，
其中甲、乙、丙三人有A₃³种排法，
因而在A₉⁹种排法中每A₃³种对应一种符合条件的排法，
故共有

A 9 9

A 3 3

=60480种排法．

点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．