Question

已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．

 

Answer 1

（1）f(x)＝x3－3x（2）4

【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3.

由题意，得即解得

所以f(x)＝x3－3x.

(2)令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	增	极大值	减	极小值	增	2

因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.

则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.