题目内容
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.”(Ⅰ)判断函数f(x)=
+
是否是集合M中的元素，并说明理由；
(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意［m,n］
D，都存在x0∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x0)成立，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；
(Ⅲ)设x1是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f(x3)-f(x2)|＜2.
解析：(1)因为f′(x)=+cosx,
所以f′(x)∈［,
］满足条件0＜f′(x)＜1,
又因为当x=0时，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有实数根0.
所以函数f(x)=
+
是集合M中的元素.
(2)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)-α=0,f(β)-β=0,不妨设α＜β，根据题意存在数c∈(α,β),
使得等式f(β)-f(α)=f(β-α)f′(c)成立，
因为f(α)=α,f(β)=β，且α≠β，所以f′(c)=1,
与已知0＜f′(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一个实数根；
(3)不妨设x2＜x3，因为f′(x)＞0，所以f(x)为增函数，所以f(x2)＜f(x3),又因为f′(x)-1＜0,所以函数f(x)-x为减函数，
所以f(x2)-x2＞f(x3)-x3,
所以0＜f(x3)-f(x2)＜x3-x2,即|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|,
所以|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2.
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