题目内容

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OAl的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)=1(2)直线l不存在
(1)依题意,可设椭圆C的方程为=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有解得
a2b2c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为=1.
(2)假设存在符合题意的直线l,由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等,故可设直线l的方程为yxt.由得3x2+3txt2-12=0.
因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4t≤4.
另一方面,由直线OAl的距离d=4,可得=4,从而t=±2.由于±2∉[-4,4],所以符合题意的直线l不存在
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