题目内容
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)
=1(2)直线l不存在

(1)依题意,可设椭圆C的方程为
=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有
解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为
=1.
(2)假设存在符合题意的直线l,由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等,故可设直线l的方程为y=
x+t.由
得3x2+3tx+t2-12=0.
因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4
≤t≤4
.
另一方面,由直线OA与l的距离d=4,可得
=4,从而t=±2
.由于±2
∉[-4
,4
],所以符合题意的直线l不存在

从而有


又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为

(2)假设存在符合题意的直线l,由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等,故可设直线l的方程为y=


因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4


另一方面,由直线OA与l的距离d=4,可得






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