Question

已知PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶.

（1）求PB与平面PDC所成角的大小；

（2）求二面角DPBC的正切值；

（3）若AD=BC，求证:平面PAB⊥平面PB

Answer 1

（1）解析：由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC.?

又AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.?

又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC.?

所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角.?

令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=.?

由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.?

在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°,即直线PB与平面PDC所成的角为45°.?

（2）解析：如图，取PC中点E，连结DE，则DE⊥PC.由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC，则DE⊥平面PBC，作EF⊥PB于F，连结DF，由三垂线定理，得DF⊥PB.

则∠DFE为二面角DPBC的平面角.?

在Rt△PDC中，求得DE=.?

在Rt△PFE中，求得EF=.?

在Rt△DEF中，tan∠DFE=，?

即二面角DPBC大小的正切值为.??

（3）证明:如图，取PB中点G，连结AG和EG.由三角形中位线定理得GE∥BC，GE=BC.?

由已知，AD∥BC，AD=BC，?

∴AD GE.?

?

∴AGED是平行四边形.∴AG∥DE.?

由（2）已证出DE⊥平面PBC，?

∴AG⊥平面PBC.?

又AG平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC.