Question

如图2-5-6,已知PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,PD⊥AB于D,PD、AO的延长线相交于E,连结CE并延长交⊙O于F,连结AF.

图2-5-6

（1）求证:△PBD∽△PEC;

（2）若AB＝12,tan∠EAF＝,求⊙O的半径.

Answer 1

思路解析:在（1）中,要证相似的两个三角形已经有一个角相等,只要再证其夹边对应成比例即可,而这可由△PAD∽△PEA得到;在（2）中,已知tan∠EAF＝,所以需构造直角三角形,从而运用三角函数求解.

(1)证明:由切割线定理,得PA²＝PB·PC.?

由△PAD∽△PEA,得PA²＝PD·PE,?

∴PB·PC＝PD·PE.又∠BPD为公共角,?

∴△PBD∽△PEC.

(2)解:作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F,

∴PE∥AF.

又OG⊥AB于G,∴AG ＝AB＝6.

∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF.

?Rt△AOG中,tan∠AOG＝,又=,∴OG＝9.

由勾股定理,AG²+OG²＝AO²,?

∴＝.?

∴⊙O半径长为.