题目内容
设双曲线C:



(1)求双曲C的方程;
(2)求点P(k,m)的轨迹方程.
【答案】分析:(1)根据双曲线虚轴长为2
,渐近线方程是y=
,可得几何量的值,即可求得双曲线C的方程;
(2)直线AB:y=kx+m与双曲线
联立消去y得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,利用韦达定理及
⊥
知x1x2+y1y2=0,即可求得点P的轨迹方程.
解答:解:(1)由题意,双曲线虚轴长为2
,渐近线方程是y=
,
∴b=
,b=
a,
∴a=1 (3分)
故双曲线C的方程为
.(6分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+m与双曲线
联立消去y得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0
由题意3-k2≠0,且
(4分)
又由
⊥
知x1x2+y1y2=0
而x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2
所以
+k2×
+km×
+m2=0
化简得2m2-3k2=3①
由△>0可得k2<m2+3②
由①②可得2m2-3k2=3 (6分)
故点P的轨迹方程是2y2-3x2=3(x≠±
) (8分)
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是直线与双曲线方程联立,利用韦达定理进行求解.


(2)直线AB:y=kx+m与双曲线



解答:解:(1)由题意,双曲线虚轴长为2


∴b=


∴a=1 (3分)
故双曲线C的方程为

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+m与双曲线

由题意3-k2≠0,且

又由


而x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2
所以



化简得2m2-3k2=3①
由△>0可得k2<m2+3②
由①②可得2m2-3k2=3 (6分)
故点P的轨迹方程是2y2-3x2=3(x≠±

点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是直线与双曲线方程联立,利用韦达定理进行求解.

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