题目内容
已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满足a2+（y1+y2）a+y1•y2=0．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），则存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），则存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．
分析：（1）由a2+（y1+y2）a+y1y2=0，知（y1+a）（y2+a）=0，由此能够证明存在i∈{1，2}，使得yi=-a．
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得yi=-a，则有-a=ax2+bx+c，由此能够证明抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点．
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，x1+x2=-
，x1x2=
，由此能够证明x1＜mi＜x2．
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得yi=-a，则有-a=ax2+bx+c，由此能够证明抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点．
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |
解答：证明：（1）由a2+（y1+y2）a+y1y2=0，
有（y1+a）（y2+a）=0．（2分）
∴y1=-a或y2=-a，
即存在i∈{1，2}，使得yi=-a．（4分）
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得yi=-a，
则有-a=ax2+bx+c，
即ax2+bx+a+c=0，
由△=b2-4a（a+c）≥0．
∴b2-4ac≥4a2＞0．∴b2-4ac＞0．
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，x1+x2=-
，x1x2=
．（10分）
∴（mi-x1）（mi-x2）
=mi2-（x1+x2）mi+x1x2
=mi2+
mi+
=
（ami2+bmi+c）
=
yi，
由（1）可知
yi=-1＜0，
∴x1＜mi＜x2．（14分）．
有（y1+a）（y2+a）=0．（2分）
∴y1=-a或y2=-a，
即存在i∈{1，2}，使得yi=-a．（4分）
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得yi=-a，
则有-a=ax2+bx+c，
即ax2+bx+a+c=0，
由△=b2-4a（a+c）≥0．
∴b2-4ac≥4a2＞0．∴b2-4ac＞0．
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |
∴（mi-x1）（mi-x2）
=mi2-（x1+x2）mi+x1x2
=mi2+
| b |
| a |
| c |
| a |
=
| 1 |
| a |
=
| 1 |
| a |
由（1）可知
| 1 |
| a |
∴x1＜mi＜x2．（14分）．
点评：本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较大．解题时要认真审题，仔细解答．
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