题目内容
【题目】如图,在四棱锥中, 平面
平面
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在, 求
的值;若不存在, 说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)由已知结合面面垂直的性质可得平面
,进一步得到
,再由
,由线面垂直的判定得到
平面
;
(2)取中点为
,连接
,
,由已知可得
,
.以
为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得
,
,
,
,进一步求出向量
、
、
的坐标,再求出平面
的法向量
,设
与平面
的夹角为
,由
,求得直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)假设存在点使得
平面
,设
,
,由
可得
,
,由
平面
,可得
,由此列式求得当
时,
点即为所求.
试题解析:(1)证明: 因为平面平面
,
平面
,
又因为平面
.
(2)如图, 取的中点
,连接
又因为
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
,
.如图建立空间直角坐标系
,由题意
.
设平面的法向量为
,则
,即
,令
,则
,又
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(3)设是棱
上一点,则存在
使得
,因此点
平面
平面
,当且仅当
,
即,解得
,所以在棱
上存在点
使得
平面
,
此时.
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