Question

双曲线的离心率e=2，F₁，F₂是左，右焦点，过F₂作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F₁P与右准线交于Q点，已知
（1）求双曲线的方程；
（2）设过F₁的直线MN分别与左支，右支交于M、N，线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x，0），若1≤|NF₂|＜3，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为双曲线的离心率e=2，所以可得含a，c的等式，再由，可求出a值，结合a，b，c的关系式，就能求出b，双曲线的方程可知．
（2）因为直线MN过F₁点，可设出点斜式方程，与与双曲线方程联立，求出两根之和，两根之积，再因为线段MN的垂线平分线l与MN斜率互为负倒数，且过MN中点，所以线段MN的垂线平分线l方程可以写出，再因为可用线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x，0），可用含k的式子表示x，再根据1≤|NF₂|＜3，求x的范围即可．
解答：解：（1）∵e=2⇒c=2a，F₁（-2a，0），F₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
设Q∵F₁，Q，F₂三点共线∴∵得a²=1
∴
（2）设MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵∴
∵l过Q（x，0）∴∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）⇒
令∵
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上单调递增
得 ∵∴
点评：本题考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，做题时要认真分析．