题目内容
张三开车回家途中有6个交通岗，他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
．
（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率；
（2）设ξ为他在途中遇到的红灯次数，求ξ的期望和方差；
（3）设η表示他在首次停车前经过的路口数，求η的分布列．
| 1 | 3 |
（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率；
（2）设ξ为他在途中遇到的红灯次数，求ξ的期望和方差；
（3）设η表示他在首次停车前经过的路口数，求η的分布列．
分析：（1）先求他在途中一次红灯都没有遇到的概率，然后利用对立事件概率，可求他至少一次遇到红灯的概率；
（2）确定ξ服从B（6，
），利用公式可求ξ的期望和方差；
（3）确定η的可能取值，求出相应的概率，从而可得η的分布列．
（2）确定ξ服从B（6，
| 1 |
| 3 |
（3）确定η的可能取值，求出相应的概率，从而可得η的分布列．
解答：解：（1）他在每个路口遇到红灯的概率为
，则他在每个路口顺利通过的概率为
，所以他在途中一次红灯都没有遇到的概率为（
）6=
，所以他至少一次遇到红灯的概率为1-
=
． （4分）
（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是
，
则P（ξ=K）=
((
)k(
)6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），
所以ξ服从B（6，
），所以Eξ=6×
=2（次），Dξ=6×
×
=
． （8分）
（3）η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6
P（η-0）=
；P（η=1）=
×
=
；P（η=2）=(
)2×
=
；P（η=3）=(
)3×
=
；
P（η=4）=(
)4×
=
；P（η=5）=(
)5×
=
；P（η=6）=(
)6=
，
η的分布列如下：
（12分）
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 64 |
| 729 |
| 64 |
| 729 |
| 665 |
| 729 |
（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是
| 1 |
| 3 |
则P（ξ=K）=
| C | k 6 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
所以ξ服从B（6，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（3）η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6
P（η-0）=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 81 |
P（η=4）=(
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 243 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 32 |
| 729 |
| 2 |
| 3 |
| 64 |
| 2187 |
η的分布列如下：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
|
点评：本题考查概率的求法，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
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