Question

如图是一个组合体．它下部的形状是高为10m的圆柱，上部的形状是母线长为30m的圆锥．试问当组合体的顶点O到底面中心O'的距离为多少时，组合体的体积最大？最大体积是多少？注：V柱体=S底•h，  V锥体=

1

3

S底•h．

Answer 1

分析：设圆锥的高为x，半径为r，我们易根据下部的形状是高为10m的圆柱，上部的形状是母线长为30m的圆锥得到组合体的体积的表达式，然后根据导数法，求出函数的最大值，即可得到答案．

解答：解：设圆锥的高为x，半径为r，则r=

900-x2

（0＜x＜30）（2分）
V(X)=π(900-x2)×10+

1

3

π(900-x2)•x
=

1

3

π(27000-30x2+900x-x3)（4分）
V′（x）=-π（x²+20x-300）（5分）
令V'（x）=0解得x=-30（不合题意，舍去），x=10．
当0＜x＜10时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当10＜x＜30时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．（7分）
所以当x=10时，V（x）最大．即当OO′为20m时，组合体的体积最大（9分）
最大体积为：

32000

3

π（10分）

点评：本题考查的知识点是组合几何体的体积，导数法求函数的最大值，其中根据已知求出组合体的体积的函数表达式，将问题转化为求函数的最大值问题，是解答本题的关键．