题目内容
已知函数,
(
为常数)
(1)当时
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数
的切线
在切点处穿过
图象的充要条件是
恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
【答案】
(1)实数的取值范围是:
;(2)详见试题解析.
【解析】
试题分析:(1)由已知条件,构造函数,当
时
恒成立
恒成立
.利用导数讨论函数
的单调性及最值,即可求得实数
的取值范围;(2)由已知,函数
关于A(1,0)对称,则
是奇函数,由此可求出
的值,进而得
的解析式,利用导数的几何意义,求出函数在点A处的切线,构造函数
,
,利用导数分别研究函数
,
的单调性,结合直线穿过曲线定义,证明充分性和必要性.
试题解析:(1)设,
.令:
,得
或
.
所以:当,即
时,
在
是增函数,
最小值为
,满足;当
,即
时,
在区间
为减函数,在区间
为增函数.所以
最小值
,故不合题意.所以实数
的取值范围是:
6分
(2)因为关于A(1,0)对称,则
是奇函数,所以
,所以
,则
.若
为A点处的切线则其方程为:
,令
,
,所以
为增函数,而
所以直线
穿过函数
的图象.
9分
若是函数
图象在
的切线,则
方程:
,设
,则
,令
得:
,当
时:
,
,从而
处取得极大值,而
,则当
时
,所以
图象在直线
的同侧,所在
不能在
穿过函数
图象,所以
不合题意,同理可证
也不合题意.所以
(前面已证)所以
即为
点.所以原命题成立.
14分
考点:1.含参数不等式中的参数取值范围问题;2.导数的几何意义;3.导数与函数的单调性及最值.

练习册系列答案
相关题目