题目内容

某港口的水深(米)是时间t(0≤t≤24)(单位:时)的函数,记作y=f(t)下面是该港口某季节每天水深的数据:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
经过长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象,一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不小于5m是安全的(船舶停靠岸时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全出港,问它至多能在港内停留的时间是(忽略进出港所用时间)(  )
A、17B、16C、5D、4
分析:寻求变量之间的关系是解题的关键.引进角,利用三角函数的定义,易得变量之间的关系,其模型是三角函数.
解答:解:由已知数据,易知y=f(t)的周期T=12,振幅A=13-10=3,b=10,所以y=3sin
π
6
t+10

由该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5(m),∴3sin
π
6
t
+10≥11.5,
π
6
+2kπ≤
π
6
t≤
6
+2kπ
(k∈Z),
∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取k=0或1,
所以1≤t≤5或13≤t≤17.
故该船可在当日凌晨1时进港,17时离港,它在港内至多停留16小时.
点评:求解具有周期变化现象的实际问题关键是能抽象出三角函数模型,解决的步骤是:审题,建模,求解,还原.
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