题目内容

若函数f（x）=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的单调递增的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5

（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．
（I）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，解得b=0，…1分
则f（x）=
ax
1+x
，
∴f（
1
2
）=
1
2
a
1+
1
4
=
2
5
，
∴a=1…4分
∴函数的解析式为：f（x）=
x
1+x
（-1＜x＜1）…6分
（Ⅱ）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t），
∵f（-t）=-f（t），
∴f（t-1）＜f（-t），…8分
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
∴0＜t＜
1
2
…12分
练习册系列答案
相关题目
①命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函数f（x）=2x-x2的零点有2个；
③若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函数f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．
其中真命题的序号是
①③
①③
（写出所有正确命题的编号）．
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函数记为y=g（x），g（16）=2，则f(
12
)=
2
2
．
若函数f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒过一定点，此定点坐标为
（2，2011）
（2，2011）
．
（2012•卢湾区一模）若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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