Question

点P是椭圆16x²+25y²=1600上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，又知点P在x轴上方，F₂为椭圆的右焦点，直线PF₂的斜率为-4

3

：求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：将椭圆的方程转化为标准形式，求出两个焦点的坐标，利用点斜式求出直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立求出交点的坐标，利用三角形的面积底乘高除以2求出三角形的面积．

解答：解：F₁、F₂是椭圆

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦点，
则F₁（-6，0），F₂（6，0），
设P（x，y）是椭圆上一点，则

16x2+25y2=1600…(1) y x-6 =-4 3 …(2) y＞0…(3)

消去y，得19x²-225x+6500=0，
得x₁=5或x2=

130

19

当x2=

130

19

时，代入（2）得y2=-

64 3

19

与（3）矛盾，舍去．
由x=5，得y=4

3

．
所以，△PF₁F₂的面积S=

1

2

|F1F2|•h=

1

2

×12×4

3

=24

3

．

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系找突破口．