题目内容
在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100•（Acos（ωn+2）+k）来刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数；ω＞0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得ω，利用规律②可求得函数的最大值和最小值，则可求得三角函数解析式中的振幅A；同时根据n=2时，f（2）的值求得k，则函数的解析式可得．
（2）利用余弦函数的性质根据题意求得cos（
n+2）的范围进而求得n的范围，根据n∈[1，12]，n∈N*，进而求得n的值．
（2）利用余弦函数的性质根据题意求得cos（
| π |
| 6 |
解答：解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，T=
=12?ω=
；
由规律②可知，f（n）max=f（8）=100A+100k，f（n）min
=f（2）=-100A+100kf（8）-f（2）=200A=400?A=2；
又当n=2时，f(2)=200•cos(
•2+2)+100k=100，
所以，k≈2.99，由条件k是正整数，故取k=3．
综上可得，f(n)=200cos(
n+2)+300符合条件．
（2）由条件，200cos(
n+2)+300＞400，
可得cos(
n+2)＞
?2kπ-
＜
n+2＜2kπ+
，k∈Z?
(2kπ-
-2)＜n＜
(2kπ+
-2)，
k∈Z?12k-2-
＜n＜12k+2-
，k∈Z．
因为n∈[1，12]，n∈N*，所以当k=1时，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．
由此可得，T=
| 2π |
| ω |
| π |
| 6 |
由规律②可知，f（n）max=f（8）=100A+100k，f（n）min
=f（2）=-100A+100kf（8）-f（2）=200A=400?A=2；
又当n=2时，f(2)=200•cos(
| π |
| 6 |
所以，k≈2.99，由条件k是正整数，故取k=3．
综上可得，f(n)=200cos(
| π |
| 6 |
（2）由条件，200cos(
| π |
| 6 |
可得cos(
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 6 |
| π |
| π |
| 3 |
| 6 |
| π |
| π |
| 3 |
k∈Z?12k-2-
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
因为n∈[1，12]，n∈N*，所以当k=1时，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．
点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．解题的技巧是从问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．
练习册系列答案
相关题目