Question

是否存在常数a，b，c，使得等式

1·2²+2·3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）对一切正整数n都成立？证明你的结论.

Answer 1

解：假设存在常数a，b，c，使得等式成立.

则当n=1，2，3时，有

1·2²=（a+b+c），1·2²+2·3²=（4a+2b+c），1·2²+2·3²+3·4²=9a+3b+c.

得a=3，b=11，c=10.

下面用数学归纳法证明：

1·2²+2·3²+…+n（n+1）²=·（3n²+11n+10）.

（1）当n=1时，左边=1·2²=4，右边=4，等式成立.

（2）假设当n=k时，等式成立，即

1·2²+2·3²+…+k（k+1）²=·（3k²+11k+10）.

当n=k+1时

1·2²+2·3²+…+k（k+1）²+（k+1）（k+2）²=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²=（3k²+5k+12k+24）

=［3（k+1）²+11（k+1）+10］,

即当n=k+1时，等式成立.

由（1）（2）可知，对任何正整数n，等式都成立.