Question

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，动点P满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试在直线l上确定一点D（异于M点），过点D作曲线C的切线，使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点．

Answer 1

分析：（1）依题意，M（4，0），设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即可得动点P的轨迹C的方程；
（2）因为DE、DM都是圆（x-2）²+y²=4的切线，所以DE=DM，根据E点位DF的中点，可求得CF=4，FM=6，进而可得DM=2

3

，故可得D的坐标．

解答：解：（1）依题意，M（4，0）…（1分）
设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即x（x-4）+y²=0…（4分）
整理得：动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=4（x≠0且x≠4）…（6分）
（2）因为DE、DM都是圆（x-2）²+y²=4的切线，所以DE=DM…（9分）
因为E点是DF的中点，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=

π

6

…（11分）
设C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，
所以CF=4，FM=6…（13分）
从而DM=2

3

，故D（4，±2

3

）…（15分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查圆的方程，考查圆的切线，正确运用向量知识是关键．