Question

若椭圆和双曲线有相同焦点F₁，F₂，点P是两条曲线的一个公共点，并且

PF1

•

PF2

=0，e₁，e₂分别为它们的离心率，则

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值是

2

．

Answer 1

分析：由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论

解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
将④⑤代入③得a²+m²=c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=1，即

1

e 1 2

+

1

e 2 2

=2
故答案为2

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e₁与双曲线心率e₂满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．