题目内容

【题目】n是一个正整数,定义n个实数a1a2an的算术平均值为.设集合 M={1232015},对 M的任一非空子集 Z,令αz表示 Z中最大数与最小数之和,那么所有这样的αz的算术平均值为______.

【答案】2016

【解析】

分别讨论122015为最小值和最大值的集合的个数,再运用等比数列的求和公式求和,最后由集合的非空子集的个数和均值的定义,计算即可得到所求值.

1为最小值的集合有22014个,以2为最小值的集合有22013个,

2015为最小值的有20个,

则所有M的非空子集的最小值的和为1×22014+2×22013+…+2015×20

同理,所有M的非空子集的最大值的和为2015×22014+2014×22013+…+1×20.

故所有这样的的和为2016×22014+22013+…+20=2016×=2016×220151.

则所有这样的的算术平均值为=2016.

故答案为:2016.

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