Question

如图2-1-19,空间四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=DC=1,AD和BC所成角为60°,E、F分别为AB、CD边的中点,求AB和CD所成的角及EF的长.

图2-1-19

Answer 1

思路解析:为了求异面直线所成的角,一般我们都要分别作两条直线的平行直线且使所得的两条直线相交,这样所得直线的交角就是两异面直线所成的角或其补角.而求EF的长则要作△CAD和△CAB的中位线,在得到的△EFM中利用余弦定理后得到.

解:如图2-1-18,过C作CP∥AB,并取CP=AB=2,连结AP.

过P作PQ∥CD,取PQ=CD=1,连结QD,则四边形ABCP、CDQP均为平行四边形.

连结PD、AC,于是可得△PAD≌△DCP,故∠DCP=∠PAD.

(1)当∠DAP为锐角时,∠DCP、∠PAD分别为异面直线AB和CD,AD和BC所成的角,这时∠DCP=∠PAD=60°.

(2)当∠DAP为钝角时,∠DCP=∠PAD=120°,这时AB和CD所成角为∠DCP的补角,为60°.

连结AC,取AC中点M,连结EM、FM,则FMAD,MEBC,

∴∠EMF为异面直线AD和BC所成的角或其补角.

若∠EMF=60°,则在△EFM中,由余弦定理得

EF²=()²+1²-2××1×cos60°=,即EF=;

若∠EMF=120°,则在△EFM中,由余弦定理得

EF²=()²+1²-2××1×cos120°=,即EF=.

综上所述,AB和CD所成的角为60°,EF的长为或.