Question

（2012•赣州模拟）设函数f(x)=

2x g(x)-log5(x+ 5+x2 )

(-2≤x＜0) (0＜x≤2)

，若f（x）是奇函数，则当x∈（0，2]时，g（x）的最大值是

3

4

．

Answer 1

分析：先设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），由奇函数的关系式和题意求出g（x），再由它的解析式和指数、对数函数的单调性判断出g（x）的单调性，进而求出最大值．

解答：解：设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），∴f（-x）=2^-x=(

1

2

)x，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-(

1

2

)x=g（x）-

log	(x+ 5+x2 ) 5

，
得g（x）=

log	(x+ 5+x2 ) 5

-(

1

2

)x，x∈（0，2]，
∵y=(

1

2

)x和y=

log	(x+ 5+x2 ) 5

分别是（0，2]上的减函数，增函数，
∴g（x）=

log	(x+ 5+x2 ) 5

-(

1

2

)x是（0，2]上的增函数，
∴当x=2时，g（x）取最大值g（2）=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用，以及复合函数的单调性，根据奇偶性对应的关系式，将所求的函数进行转化，转化到已知范围内求解，考察了转化思想．