Question

某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A（优秀）、B（良好）、C（及格）三种等级，设x、y分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人．已知x与y均为B等级的概率为0.18．

xy	A	B	C
A	7	20	5
B	9	18	6
C	a	4	b

（Ⅰ）求抽取的学生人数；
（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；
（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，12≤b≤17，随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意x与y由所给的表格可以知道化学与物理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；
（II）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，化学成绩的优秀得人数为7+9+a，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；
（III）由题意知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，所以满足条件的（a，b）有（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组，利用随机变量的定义及其分布列可以求出随机变量的分布列，再由期望定义即可求解．

解答：解：（Ⅰ）依题意，

18

n

=0.18，得n=100；
（Ⅱ）由

7+9+a

100

=0.3，得a=14．
∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；
（Ⅲ）由题意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，
∴满足条件的（a，b）有：（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组．
∵ξ=|a-b|，
∴ξ的取值为1，3，5，7.P(ξ=1)=

2

6

=

1

3

，P(ξ=3)=

2

6

=

1

3

，P(ξ=5)=

1

6

，P(ξ=7)=

1

6

．
故ξ的分布列为

ξ	1	3	5	7
P	1 3	1 3	1 6	1 6

∴Eξ=1×

1

3

+3×

1

3

+5×

1

6

+7×

1

6

=

10

3

．

点评：此题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列与期望的定义．